Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm．点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF．当点P与点Q相遇时，所有运动停止．若设运动时间为t（s）．
（1）求AB的长度；
（2）当PE∥CD时，求出t的值；
（3）①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值为______．（直接写出答案）

Answer

（1）过A作BC的垂线，设垂足为M，在Rt△ABM中，由勾股定理即可求得AB的长；
（2）当PE∥CD时，△AEP∽△ADC，可用t表示出CP、AP、AE的长，进而由相似三角形得到的比例线段求得t的值；
（3）①易知BC=AC=15，则△ABC是等腰三角形，由于AE∥BC，易证得△AEQ、△CFQ也是等腰三角形，则AE=AQ=t，CQ=CF=15-t；可分别过E、F作AC的垂线，设垂足为G、H，根据∠DAC、∠BCA的正弦值即可得到EG、FH的表达式，进而可求得△PQE、△PQF的面积表达式，两者的面积和即为△PEF的面积，由此可得到S、t的函数关系式；
②由①知：AE=CP=t，CF=CQ=15-t，且∠DAC=∠BCA，即可证得△AEP≌△CPF，得PE=PF；若△PEF的外接圆圆心是EF的中点，那么此时△PEF是等腰Rt△，已求得EF（即AB）的长，进而可得到△PEF的面积，然后将S的值代入①的函数关系式中即可求得t的值．
【解析】
（1）过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形；
∴AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；
Rt△ABM中，AM=12cm，BM=BC-MC=6cm；
由勾股定理，得：AB=6cm（只写答案给1分）（3分）

（2）当PE∥CD时△AEP∽△ADC
∴=
∵∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，
∴AC=．==15cm
∴AP=15-t
∴=（2分）
解得t=（符合题意）
∴当PE∥CD时，t=；（2分）

（3）①过点E，F作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H．
易证AQ=AE=t（1分）
在Rt△ADC中，sin∠DAC===
∴EG=AE×sin∠DAC=t；
∵AD∥BC
∴∠ACB=∠DAC
∴FH=CF×sin∠CAB=（15-t）=12-t
∴S△PEF=S△PQE+S△PQF=+=
（t+12-t）=-12t+90；（4分）
②易知：AE=CP=t，AP=CF=CQ=15-t，∠EAP=∠FCP，
∴△AEP≌△CPF，∴EP=PF；
∵EF是⊙O的直径
∴∠EPF=90°；
∴△EPF是等腰直角三角形；
易知EF=AB=6cm；
∴S=×6×3=45cm2；
代入①的函数关系式，得：
-12t+90=45，解得t=．（3分）