Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C（0，-2）点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设G是线段BC上的动点，作GH∥AC交AB于H，连接CH，当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时，求H点的坐标；
（3）若M为抛物线上A、C两点间的一个动点，过M作y轴的平行线，交AC于N，当M点运动到什么位置时，线段MN的值最大，并求此时M点的坐标．

Answer

（1）已知抛物线与x轴的两个交点，可将其解析式设为交点式，再代入C点的坐标求解即可．
（2）对于△BGH和△CGH可看作是两个等高的三角形，那么它们的面积比等于底边的比，由此可以看出BG：GC=3：1，即：BG：GC=3：4，而已知了GH∥AC，那么BH：BA=BG：BC，BA、BC的长易得，则BH的长可求，则H点的坐标不难得出．
（3）首先要求出的是直线AC的解析式，然后设出点M、N的坐标，它们纵坐标差的绝对值就是MN的长，可据此求得关于MN长的函数关系式，再根据函数的性质来解即可．
【解析】
（1）设抛物线的解析式：y=a（x+4）（x-1），代入C（0，-2），得：
-2=a（0+4）（0-1），
解得：a=
故抛物线的解析式：y=（x+4）（x-1）=x2+x-2．

（2）∵当△BGH的面积是△CGH面积的3倍，
∴BG：CG=3：1，即BG：BC=3：4；
∵GH∥AC，∴==；
易知：BA=OB+OA=5，则 BH=AB=，
∴OH=BH-OB=-1=，即 H（-，0）．

（3）设直线AC：y=kx+b，代入A（-4，0）、C（0，-2），得：
，
解得
故直线AC：y=-x-2；
设M（x，x2+x-2），则N（x，-x-2），则：
MN=（-x-2）-（x2+x-2）=-x2-2x=-（x+2）2+2
因此当M运动到OA的中垂线上，即M（-2，-3）时，线段MN的长最大．