Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，再延长BG交DC于点F．
（1）判断GF与DF之长是否相等，并说明理由．
（2）若，求的值．
（3）若，求的值．

Answer

（1）连接EF，由图形翻折变换的性质可知，∠A=∠EGB=90°，AE=EG，由HL定理可得出Rt△EGF≌Rt△EDF，故可得出结论；
（2）由AD=AB，四边形ABCD是矩形，可知AD=BC=CD，在Rt△BCF中利用勾股定理即可得出的值；
（3）GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y，由DC=n•DF，可知BF=BG+GF=（n+1）x，在Rt△BCF中，由BC2+CF2=BF2即可得出结论．
【解析】
（1）连接EF，
∵△BGE由△BAE翻折而成，
∴∠A=∠EGB=90°，AE=EG，
∵E是AD的中点，
∴AE=EG=DE，
∴，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；

（2）∵AD=AB，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=CD，
在Rt△BCF中，
∵BC2+CF2=BF2，即BC2+（CD-DF）2=（BC+DF）2，整理得CD=（2+）DF，
∴=；

（3）∵GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2
∴y=2x，
∴==