Question

如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=CM•CF；
（3）过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知△DHG是等边三角形；设等边△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为S₁、S₂、S₃，试探究S₁、S₂、S₃之间的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）连接OB，只要证明∠OBE=90°即可求解；
（2）连接MB，易证∠CMB=∠CBF，则可以得到△CMB∽△CBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得证；
（3）作出DG与GH，易证AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根据平行线分线段成比例定理即可得证．
（1）证明：连接OB，由题意得，
∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°∠CBE=60°
则∠OBE=90°
∴BE是⊙O的切线（3分）

（2）证明：连接MB，则∠CMB=120°（4分）
∵∠CBF=120°
∴∠CMB=∠CBF
∵∠BCF=∠BCM
∴△CMB∽△CBF（5分）
∴=即CB2=CM•CF
∵AC=CB
∴AC2=CM•CF（6分）

（3）【解析】
根据题意，作出DG与GH（7分）
由题意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG
∴==
∵=（）2
=（）2
∴=即S22=S1•S3
∴所求的数量关系是S22=S1•S3（9分）