Question

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点Q在y轴上，点P在抛物线上，且以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点P有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

要分类讨论AB是边还是对角线两种情况，AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可，进而求出P点坐标，当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，进而求出P点坐标．
【解析】
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴A（-1，0）、B（3，0）；
①当AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1，P2．
而当x=4时，y=；
当x=-4时，y=7，
此时P1（4，）、P2（-4，7）．
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，
∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3．
而且当x=2时y=-1，此时P3（2，-1），
综上，满足条件的P为P1（4，）、P2（-4，7）、P3（2，-1）．
故选C．