Question

如图，△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，E，F分别在AB，AC上，沿EF对折，使点A落在BC上的点D处，且FD⊥BC．
（1）判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论．
（2）求AD的长．

Answer

（1）因为AC2=AB2+BC2，根据勾股定理和逆定理知，△ABC是直角三角形，∠B=90°，得出AB∥FD，由折叠的性质知，AF=DF，∠EAF=∠EDF，利用FD⊥BC得出∠EDB=∠C，则ED∥AC，得出四边形AEDF是平行四边形，再利用AF=FD，所以四边形AEDF是菱形．
（2）由（1）知，四边形AEDF是菱形，利用菱形的性质得出ED=AE=FD=AF，求出DE的长，再利用勾股定理求出BD的长，进而求得AD的值．
（1）四边形AEDF是菱形．
证明：因为AB=3，BC=4，AC=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∴AB⊥BC，FD⊥BC，
∴AE∥FD，
∵由折叠的性质知，∠EAF=∠EDF，
∵FD⊥BC，
∴∠EDB+∠FDE=90°，
∵∠C+∠BAC=90°，
∴∠EDB=∠C，
∴ED∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AF∥FD，
∴平行四边形AEDF是菱形．

（2）【解析】
∵四边形AEDF是菱形，
∴ED=AE=FD=AF，
∵FD∥AB，
∴=，
∴=，
解得：DF=，
故BE=3-=，
故BD====，
则AD==．