Question

如图a，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线函数式为，AD=8，矩形ABCD沿DB方向以每秒一个单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经B到达终点C，用了14秒．
（1）求矩形ABCD周长；
（2）如图b，当P到达B时，求点P坐标；
（3）当点P在运动时，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，
①如图c，当P在BC上运动时，矩形PEOF的边能否与矩形ABCD的边对应成比例？若能，求出时间t的值，若不能，说明理由；
②如图d，当P在AB上运动时，矩形PEOF的面积能否等于256？若能，求出时间t的值，若不能，说明理由；

Answer

（1）根据题意，AD=8，B点在y=x上，把x=8代入函数解析式求出y=6，则B点坐标为（8，6），所以AB=6，可求得矩形的周长为28；
（2）P点到达点B时，共运动6秒，可得OD的长度是6，然后求出点D的坐标，横坐标加上AD的长度8，纵坐标加上AB的长度6，即可得到点B的坐标，也就是点P的坐标；
（3）①当点P在BC边运动时，即6≤t≤14，分别表示出点D的坐标，点P的坐标为，然后根据相似多边形的对应边成比例列出比例式求解，如果t在取值范围内，则能，否则不能；
②当P在AB上运动时，即0≤t≤6，求出点P的坐标，然后根据矩形的面积公式列式求解求出t的值，如果t在取值范围内，则能，否则不能．
【解析】
（1）∵AD=8，B点在y=x上，
∴y=×8=6，
B点坐标为（8，6），
AB=6，
∴矩形的周长=2（AD+AB）=2（8+6）=28；

（2）当P到达B时，∵AB=6，
∴共运动6秒，
∴OD=6，
设点D的横坐标是a，
则纵坐标是a，
∴a2+（a）2=62，
解得a=，
∴×=，
+8=，+6=，
∴点P的坐标是P（，）；

（3）①当P在BC上运动时，即6≤t≤14，
点D的坐标是（t，t），
14-t+t=14-，
∴点P的坐标是（14-t，t+6），
假设矩形PEOF的边能与矩形ABCD的边对应成比例，
则若，则，解得t=6，
当t=6时，点P与点B重合，此时矩形PEOF与矩形BADC是位似形．
若=，则 ，
解得t=，
因为＞14，此时点P不在BC边上，舍去．
综上，当t=6时，点P到达点B，矩形PEOF与矩形BADC是相似图形，对应边成比例；

②当P在AB上运动时，即0≤t≤6，
点D的坐标是（t，t），
t+t=t，
∴点P的坐标为（8+t，t）．
∴矩形PEOF的面积=（8+t）（t）=256，
整理得：t2+10t-200=0，
解得t1=10，t2=-20，
t1=10，t2=-20都不合题意，故不能．
故答案为：（1）矩形ABCD的周长为28；（2）P（，）；（3）①t=6；②故不能．