Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．则下列结论：
①若∠MFC=120°，则∠MAB=30°；②∠MPB=90°-∠FCM；③△ABM∽△CEF； ④S_梯形AMCD-2S_△EFC=3S_△MFC，正确的是（ ）
A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①②③④

Answer

连接DF，MD，根据线段的垂直平分线的性质，以及CF=AD，MF=MA，即可证明△AMD≌△FMD≌△FMC，根据相似三角形的性质即可判断．
【解析】
连接DF，MD，
①∵ME⊥CD，E为CD中点
∴ME垂直平分CD
∴MC=MD，
在△CMF和△DMA中，
∵，
∴△CMF≌△DMA
∴∠MAD=∠MFC=120°
又∵∠BAD=90°
∴∠MAB=30°
故①正确；
∴AM=2MB
②∵△CMF≌△DMA
∴∠FCM=∠ADM
又∵AD‖BC
∴∠CMD=∠ADM=∠FCM
∵MC=MD，ME为CD边中垂线
∴ME为∠DMC的角平分线
∴∠BMP=∠CMD=∠FCM
又∵AB⊥BC
∴∠MPB+∠BMP=90°
∴∠MPB=90°-∠FCM
故②正确；
③∵∠AMD=∠DMP=∠EMC，∠EFC=∠FMC+∠FCM
∴∠AMB=∠EFC
∵∠ABM=∠MEC
∴△ABM∽△CEF
故③正确．
④由题意得出：△AMD≌△FMD≌△FMC，
∴S△AMD=S△FMD=S△FMC
∴S梯形AMCD-S△AMD-S△FMD-S△FMC=S△DEF+S△EFC
又∵S△DEF=S△EFC
即S梯形AMCD-3S△FMC=2S△EFC
∴S梯形AMCD-2S△EFC=3S△MFC，
故④正确；
故正确的是①②③④．
故选D．