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在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且...

在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.
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(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是______;此时manfen5.com 满分网=______
(2)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=______(用x、L表示).
(1)如果DM=DN,∠DMN=∠DNM,因为BD=DC,那么∠DBC=∠DCB=30°,也就有∠MBD=∠NCD=60+30=90°,直角三角形MBD、NCD中,因为BD=CD,DM=DN,根据HL定理,两三角形全等.那么BM=NC,∠BMD=∠DNC=60°,三角形NCD中,∠NDC=30°,DN=2NC,在三角形DNM中,DM=DN,∠MDN=60°,因此三角形DMN是个等边三角形,因此MN=DN=2NC=NC+BM,三角形AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB,三角形ABC的周长L=3AB,因此Q:L=2:3. (2)如果DM≠DN,我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换.延长AC至E,使CE=BM,连接DE.(1)中我们已经得出,∠MBD=∠NCD=90°,那么三角形MBD和ECD中,有了一组直角,MB=CE,BD=DC,因此两三角形全等,那么DM=DE,∠BDM=∠CDE,∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°.三角形MDN和EDN中,有DM=DE,∠EDN=∠MDN=60°,有一条公共边,因此两三角形全等,MN=NE,至此我们把BM转换成了CE,把MN转换成了NE,因为NE=CN+CE,因此NM=BM+CN.Q与L的关系的求法同(1),得出的结果是一样的. (3)我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换,思路同(2)过D作∠CDH=∠MDB,三角形BDM和CDH中,由(1)中已经得出的∠DCH=∠MBD=90°,我们做的角∠BDM=∠CDH,BD=CD因此两三角形全等(ASA).那么BM=CH,DM=DH,三角形MDN和NDH中,已知的条件有MD=DH,一条公共边ND,要想证得两三角形全等就需要知道∠MDN=∠HDN,因为∠CDH=∠MDB,因此∠MDH=∠BDC=120°,因为∠MDN=60°,那么∠NDH=120°-60°=60°,因此∠MDN=∠NDH,这样就构成了两三角形全等的条件.三角形MDN和DNH就全等了.那么NM=NH=AN+AC-BM,三角形AMN的周长Q=AN+AM+MN=AN+AB+BM+AN+AC-BM=2AN+2AB.因为AN=x,AB=L,因此三角形AMN的周长Q=2x+L. 【解析】 (1)如图,BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN. 此时. (2)猜想:结论仍然成立. 证明:如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE. ∵BD=CD,且∠BDC=120°, ∴∠DBC=∠DCB=30°. 又△ABC是等边三角形, ∴∠MBD=∠NCD=90°. 在△MBD与△ECD中: ∴△MBD≌△ECD(SAS). ∴DM=DE,∠BDM=∠CDE. ∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°. 在△MDN与△EDN中:, ∴△MDN≌△EDN(SAS). ∴MN=NE=NC+BM. △AMN的周长Q=AM+AN+MN =AM+AN+(NC+BM) =(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB. 而等边△ABC的周长L=3AB. ∴. (3)如图,当M、N分别在AB、CA的延长线上时,若AN=x, 则Q=2x+(用x、L表示).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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