Question

已知A（0，6），点B（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，作BC⊥AB，且BC：AB=1：2．又BD⊥x轴交直线AC于点D．
（1）如图，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（2）当△ABD为等腰三角形时，求出所有符合条件的点B的坐标．

Answer

（1）过点C作CE⊥OB于E，根据有两角对应相等的两三角形相似得出△AOB∽△BEC，列出比例式求出BE=3，EC=t，进而得到点C的坐标；先由勾股定理求出BC2，再根据三角形的面积公式及AB=2BC，得出S△ABC=BC2；
（2）当△ABD为等腰三角形时，分三种情况：①AD=AB；②AD=BD；③AB=BD．每一种情况，都可以根据两点间距离公式列出关于t的方程，解方程即可．
【解析】
（1）过点C作CE⊥OB于E．
在△AOB与△BEC中，
∵∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴===2，
即==2，
∴BE=3，EC=t，
∴OE=OB+BE=t+3，
∴点C的坐标为（t+3，t）；
在Rt△BCE中，BC2=CE2+BE2=t2+9，
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S△ABC=AB•BC=BC2，
∴S△ABC=t2+9；

（2）∵A（0，6），C（t+3，t）；
∴直线AC的解析式为y=x+6．
∵点B（t，0），
∴设D（t，t+6），
∴AB2=t2+36，AD2=t2+（t）2，BD2=（t+6）2．
分三种情况：
①当AD=AB时，t2+（t）2=t2+36，（t）2=36，
∴t=6或t=-6，
当t=6时，整理得t2-24t-36=0，
解得t1=12+6，t2=12-6（不合题意，舍去），
∴B1（12+6，0）；
当t=-6时，整理得t2+36=0，
此方程无解；
②当AD=BD时，t2+（t）2=（t+6）2，
整理得t3-3t2+36t-108=0，
∴（t-3）（t2+36）=0，
解得t=3，
∴B2（3，0）；
③当AB=BD时，t2+36=（t+6）2，
整理得t3+8t2+36t+288=0，
∴（t+8）（t2+36）=0，
解得t=-8（不合题意，舍去）．
综上可知，符合条件的点B的坐标为B1（12+6，0），B2（3，0）．