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已知A(0,6),点B(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,连接AB,作BC⊥AB...

已知A(0,6),点B(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,连接AB,作BC⊥AB,且BC:AB=1:2.又BD⊥x轴交直线AC于点D.
(1)如图,用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积;
(2)当△ABD为等腰三角形时,求出所有符合条件的点B的坐标.

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(1)过点C作CE⊥OB于E,根据有两角对应相等的两三角形相似得出△AOB∽△BEC,列出比例式求出BE=3,EC=t,进而得到点C的坐标;先由勾股定理求出BC2,再根据三角形的面积公式及AB=2BC,得出S△ABC=BC2; (2)当△ABD为等腰三角形时,分三种情况:①AD=AB;②AD=BD;③AB=BD.每一种情况,都可以根据两点间距离公式列出关于t的方程,解方程即可. 【解析】 (1)过点C作CE⊥OB于E. 在△AOB与△BEC中, ∵∠AOB=∠BEC=90°,∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE, ∴△AOB∽△BEC, ∴===2, 即==2, ∴BE=3,EC=t, ∴OE=OB+BE=t+3, ∴点C的坐标为(t+3,t); 在Rt△BCE中,BC2=CE2+BE2=t2+9, ∵AB⊥BC,AB=2BC, ∴S△ABC=AB•BC=BC2, ∴S△ABC=t2+9; (2)∵A(0,6),C(t+3,t); ∴直线AC的解析式为y=x+6. ∵点B(t,0), ∴设D(t,t+6), ∴AB2=t2+36,AD2=t2+(t)2,BD2=(t+6)2. 分三种情况: ①当AD=AB时,t2+(t)2=t2+36,(t)2=36, ∴t=6或t=-6, 当t=6时,整理得t2-24t-36=0, 解得t1=12+6,t2=12-6(不合题意,舍去), ∴B1(12+6,0); 当t=-6时,整理得t2+36=0, 此方程无解; ②当AD=BD时,t2+(t)2=(t+6)2, 整理得t3-3t2+36t-108=0, ∴(t-3)(t2+36)=0, 解得t=3, ∴B2(3,0); ③当AB=BD时,t2+36=(t+6)2, 整理得t3+8t2+36t+288=0, ∴(t+8)(t2+36)=0, 解得t=-8(不合题意,舍去). 综上可知,符合条件的点B的坐标为B1(12+6,0),B2(3,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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