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如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥B...

如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)当AB=5,AC=8时,求cos∠E的值.

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(1)连接圆心和切点,利用平行,OF⊥CB可证得∠ODF=90°; (2)把∠E在相应的直角三角形中进行转移,求出其邻边与斜边即可. (1)证明:如图,连接OD,BD(1分) ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=∠90°, ∴BD⊥AC;(2分) ∵AB=BC, ∴AD=DC;(3分) ∵OA=OB, ∴OD∥BC,(5分) ∵DE⊥BC, ∴DE⊥OD. ∴直线DE是⊙O的切线. (2)【解析】 作DH⊥AB,垂足为H,则∠EDH+∠E=90°, 又DE⊥OD, ∴∠ODH+∠EDH=90°. ∴∠E=∠ODH. ∵AD=DC,AC=8, ∴AD=4. 在Rt△ADB中,BD==3, 由三角形面积公式得:AB•DH=DA•DB. 即5•DH=3×4,DH=. 在Rt△ODH中,cos∠ODH==, ∴cos∠E=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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