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如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上....

如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=-manfen5.com 满分网x+manfen5.com 满分网,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点P自A点出发,在AB上匀速运行.动点Q自点B出发,在折线BCD上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求s随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.
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(1)把y=4代入y=-x+,求得x的值,则可得点C的坐标,把y=0代入y=-x+,求得x的值,即可得点B的坐标; (2)作CM⊥AB于M,则可求得CM与BM的值,求得∠ABC的正弦值,然后分别从0<t<4时,当4<t≤5时与当5<t≤6时去分析求解即可求得答案; (3)在(2)的情况下s的最大值,然后比较即可求得答案. 【解析】 (1)把y=4代入y=-x+,得x=1. ∴C点的坐标为(1,4). 当y=0时,-x+=0, ∴x=4. ∴点B坐标为(4,0). (2)作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3. ∴BC===5. ∴sin∠ABC==. ①0<t<4时,作QN⊥OB于N, 则QN=BQ•sin∠ABC=t. ∴S=OP•QN=(4-t)×t=-t2+t(0<t<4). ②当4<t≤5时,(如图1), 连接QO,QP,作QN⊥OB于N. 同理可得QN=t. ∴S=OP•QN=×(t-4)×t=t2-t(4<t≤5). ③当5<t≤6时,(如图2), 连接QO,QP. S=×OP×OD=(t-4)×4=2t-8(5<t≤6). (3)①在0<t<4时, 当t=-=2时, S最大==. ②在4<t≤5时,对于抛物线S=t2-t,当t=-=2时, S最小=×22-×2=-. ∴抛物线S=t2-t的顶点为(2,-). ∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大. ∴当t=5时,S最大=×52-×5=2. ③在5<t≤6时, 在S=2t-8中, ∵k=2>0, ∴S随t的增大而增大. ∴当t=6时,S最大=2×6-8=4. ∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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