Question

已知抛物线y=ax²-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=-x+1交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△BCE∽△BOD；
（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？

Answer

（1）在抛物线y=ax2-2x+c中，已知对称轴x=-=1，可求出a的值；再将点A的坐标代入抛物线的解析式中，可确定c的值，由此得解．
（2）首先由抛物线的解析式，确定点B、C、E的坐标，由直线BD的解析式能得到点D的坐标；在求出△BCE、△BOD的三边长后，由SSS来判定这两个三角形相似．
（3）△BOE的面积易得，而在（2）中求出了BD的长，由△BDP、△BOE的面积相等先求出点P到直线BD的距离，如何由这个距离求出点P的坐标？这里需要进行适当的转化；首先在y轴上取一点（可设为点M），使得点M到直线BD的距离等于点P到直线BD的距离，通过解直角三角形先求出DM的长，由此确定点M的坐标，然后过M作平行于直线BD的直线，再联立抛物线的解析式即可确定点P的坐标．
【解析】
（1）抛物线y=ax2-2x+c中，对称轴x=-=-=1，∴a=1；
将点A（-1，0）代入y=ax2-2x+c中，得：1+2+c=0，c=-3；
∴抛物线的解析式：y=x2-2x-3．

（2）∵抛物线的解析式：y=x2-2x-3=（x-1）2-4=（x+1）（x-3），
∴点C（0，-3）、B（3，0）、E（1，-4）；
易知点D（0，1），则有：
OD=1、OB=3、BD=；
CE=、BC=3、BE=2；
∴==；
∴△BCE∽△BOD．

（3）S△BOE=×BO×|yE|=×3×4=6；
∴S△BDP=×BD×h=S△BOE=6，即 h=．
在y轴上取点M，过点M作MN⊥BD于N，使得MN=h=；
在Rt△MND中，sin∠MDB=，且 MN=；则 MD==4；
∴点M（0，-3）或（0，5）．
过点M作直线l∥MN，如右图，则 直线l：y=-x-3或y=-x+5，联立抛物线的解析式有：
或
解得：、、、
∴当点P的坐标为（0，-3）、（，-）、（，）、（，）时，△BDP的面积等于△BOE的面积．