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如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边A...

如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形(如图所示).将纸片△AC1D1沿直线D2B(AB)方向平移(点A,D1,D2,B始终在同一直线上),当点D1于点B重合时,停止平移.在平移过程中,C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.
(1)当△AC1D1平移到如图3所示的位置时,猜想图中的D1E与D2F的数量关系,并证明你的猜想;
(2)设平移距离D2D1为x,△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值使得y=manfen5.com 满分网S△ABC;若不存在,请说明理由.
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(1)根据AD1=BD2就可以证明AD2=BD1,根据等角对等边证明AD2=D2F,D1E=D1B即可. (2)由于△AC1D1与△BC2D2重叠部分为不规则图形,所以将其面积转化为S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P,再求各三角形的面积即可. (3)先假设存在x的值使得y=S△ABC,再求出△ABC的面积,然后根据(2)所求y=-x2+x(0≤x≤5)建立等量关系,解出x的值,即可证明存在x的值. 【解析】 (1)D1E=D2F. ∵C1D1∥C2D2, ∴∠C1=∠AFD2. 又∵∠ACB=90°,CD是斜边上的中线, ∴DC=DA=DB,即C1D1=C2D2=BD2=AD1 ∴∠C1=∠A, ∴∠AFD2=∠A ∴AD2=D2F. 同理:BD1=D1E. 又∵AD1=BD2, ∴AD2=BD1. ∴D1E=D2F. (2)∵在Rt△ABC中,AC=8,BC=6, ∴由勾股定理,得AB=10. 即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5 又∵D2D1=x, ∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x. ∴C2F=C1E=x 在△BC2D2中,C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高,为. 设△BED1的BD1边上的高为h, 由探究,得△BC2D2∽△BED1, ∴. ∴h=.S△BED1=×BD1×h=(5-x)2 又∵∠C1+∠C2=90°, ∴∠FPC2=90度. 又∵∠C2=∠B,sinB=,cosB=. ∴PC2=x,PF=x,S△FC2P=PC2×PF=x2 而y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P=S△ABC-(5-x)2-x2 ∴y=-x2+x(0≤x≤5). (3)存在. 当y=S△ABC时,即-x2+x=6, 整理得3x2-20x+25=0. 解得,x1=,x2=5. 即当x=或x=5时,重叠部分的面积等于原△ABC面积的.
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考点分析:
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阅读下列材料:
一般地,n个相同的因数a相乘manfen5.com 满分网记为an,记为an.如2×2×2=23=8,此时,3叫做以2为底8的对数,记为log28(即log28=3).一般地,若an=b(a>0且a≠1,b>0),则n叫做以a为底b的对数,记为logab(即logab=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数,记为log381(即log381=4).
(1)计算以下各对数的值:
log24=______,log216=______,log264=______
(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式,log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式;
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?
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某校九年级有200名学生参加了全国初中数学联合竞赛的初赛,为了了解本次初赛的成绩情况,从中抽取了50名学生,将他们的初赛成绩(得分为整数,满分为100分)分成五组:第一组49.5~59.5;第二组59.5~69.5;第三组69.5~79.5;第四组79.5~89.5;第五组89.5~100.5.统计后得到图所示的频数分布直方图(部分).
观察图形的信息,回答下列问题:
(1)第四组的频数为______;(直接填写答案)
(2)若将得分转化为等级,规定:得分低于59.5分评为“D”,59.5~69.5分评为“C”,69.5~89.5分评为“B”,89.5~100.5分评为“A”.那么这200名参加初赛的学生中,参赛成绩评为“D”的学生约有______个.(直接填写答案)
(3)若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组,再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛.用列表法或画树状图法求:挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率.
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化简,求值:manfen5.com 满分网,其中m=manfen5.com 满分网
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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