Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．

Answer

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；
（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．
【解析】
（1）由题意，得：，
解得；
∴y=x2+x-2；

（2）由（1）知：C（0，-2）；
则AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5；
而AB2=25=AC2+BC2；
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S△CEF=2S△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴；
∵AB=5，
∴BE=；
OE=BE-OB=，故E（，0）；

（3）设P点坐标为（m，m2+m-2）；
已知A（-4，0），C（0，-2），
设直线AC的解析式为：
y=kx-2，
则有：-4k-2=0，k=-；
∴直线AC的解析式为y=-x-2；
∴Q点坐标为（m，-m-2）；
则PQ=-m-2-（m2+m-2）=-m2-2m；
∴当m=-2，即P（-2，-3）时，PQ最大，且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（-2，-3）．