Question

如图①，将一个内角为120°的菱形纸片沿较长对角线剪开，得到图②的两张全等的三角形纸片．将这两张三角形纸片摆放成图③的形式．点B、F、C、D在同一条直线上，AB分别交DE、EF于点P、M，AC交DE于点N．
（1）求证：△APN≌△EPM．
（2）连接CP，试确定△CPN的形状，并说明理由．
（3）当P为AB的中点时，求△APN与△DCN的面积比．

Answer

（1）我们可以利用菱形的性质及全等三角形的判定方法AAS判定△APN≌△EPM．
（2）△CPN的形状是直角三角形，利用等腰三角形的性质：三线合一以及已知条件证明∠CNP=90°即可；
（3）要求△APN与△DCN的面积比，我们可以根据菱形的性质及已知，得到PN：CN=，根据相似三角形的判定，得到△ANP∽△DNC，即△APN与△DCN的面积比为3：1．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠B=∠D=∠E，
∴PB=PD．
∵AB=DE，
∴PA=PE．
∵∠EPM=∠APN，
在△APN和△EPM中，
，
∴△APN≌△EPM；

（2）连接CP．
∵∠ACB=∠DFE=120°，AC=BC=DF=FE，
∴∠D=∠A=∠B=30°．
∴∠APN=60°．
∴∠CNP=90°，
∴△CPN的形状是直角三角形；
（3）由（2）可知∠APN=60°，∠CNP=90°，
∴∠CPN=30°．
∴PN：CN=：1，
∵∠D=∠A，∠ANP=∠DNC，
∴△ANP∽△DNC．
∴S△ANP：S△DNC=PN2：CN2=3：1．
即△APN与△DCN的面积比为3：1．