Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+k²+1=0
（1）k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂（x₁＜x₂）满足x₁+|x₂|=3，求k的值和方程的两根．

Answer

（1）由于方程有两个不相等的实数根，所以方程的判别式是正数，一次即可确定k的取值范围；
（2）由于方程的两个实数根x1、x2（x1＜x2）满足x1+|x2|=3，通过分类讨论去掉绝对值的符号，然后利用根与系数的关系即可求出k的值和方程的两个根．
【解析】
（1）在已知一元二次方程中，
a=1，b=-（k+2），c=（k2+1），
又由△=b2-4ac
=[-（k+2）]2-4（k2+1）
=k2+4k+4-k2-4（3分）=4k＞0，
得k＞0，
即k＞0时方程有两个不相等的实数根；
〖无（1分）、（3分）所在行之中间步骤，即跳过此步不扣分，余同〗

（2）法一：由，（6分）
∵x1＜x2，k＞0，（7分）
∴＞0（8分）
∴|x2|=x2．（9分）
由x1+|x2|=3，得x1+x2=3，
由根与系数关得k+2=3．
即k=1（10分）
此时，原方程化为x2-3x+=0，（11分）
解此方程得，x1=，x2=，（12分）
法二：由x1x2=k2+1＞0，（6分）
又∵k＞0，
∴x1+x2=k+2＞0，（7分）
∴x1＞0，x2＞0；（8分）
∴|x2|=x2．（9分）
下同法一．