Question

如图，点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，、F是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，连接PC，过点A作AQ∥PC交PD于Q．
（1）证明：PC=2AQ；
（2）当点F为BC的中点时，试猜想PF=2AP是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试求的值．

Answer

（1）此题有两种证法：〖法一〗如图1，连接AC交DE于点K，根据AE∥DC．求证△AKE∽△CKD，再利用AQ∥PC，求证△AKQ∽△CKP．再利用其对应边成比例即可证明结论．
（1）〖法二〗如图2，延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC，根据AQ∥PC，BM∥PC，和E是AB的中点，D、E、R三点共线，求证△AEQ≌△BEM．同理△AED≌△REB．再求证△RBM∽△RCP，利用其对应边成比例即可证明结论．
（2）如图3，当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．作BN∥AF，交RD于点N．根据△RBN∽RFP．利用F是BC的中点，RB=BC，可得==，又利用AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．求证△BNE≌△APE即可．
【解析】
（1）〖法一〗如图1，连接AC交DE于点K，
∵AE∥DC，∴∠AEP=∠CDP，
又∠AKE=∠CKD，
∴△AKE∽△CKD，
∴．
∵AQ∥PC，
∴∠KAQ=∠PCK，
又∠AKQ=∠CKP，
∴△AKQ∽△CKP．
∴，
∵，
∴，
即PC=2AQ．

（1）〖法二〗如图2，延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC．
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB．
∵E是AB的中点，D、E、R三点共线，
∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△REB．
∴AD=BR=BC．
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，
相似比是．
PC=2MB=2AQ．

（2）如图3，当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．
作BN∥AF，交RD于点N．
则△RBN∽RFP．
∵F是BC的中点，
由（1）[法二]知：RB=BC，
∴RB=RF．
∴==
又AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．
∴△BNE≌△APE，
∴AP=BN．
∴AP=BN=PF．
即=．