Question

如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上（不与A、D重合），MN为折痕，折叠后B′C′与DN交于P．
（1）P判断△MAB′与△NC′P是否相似？并说明理由；
（2）当B落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC′B′面积最小，并求此时两纸片重叠部分的面积．

Answer

（1）求两三角形相似，只需证明其中的两个对应角相等即可；
（2）先求出梯形MNC′B′面积最小时，点B的位置，两纸片重叠部分的面积即是梯形MNC′B′的面积减去三角形NPC'的面积．
【解析】
（1）△MAB′与△NC′P相似，
其理由如下：∵∠NC′P=∠B′AM=90°，
又∵∠B′PD+∠PB′D=90°，∠DB′P+∠MB′A=90°，
∴∠MB′A=∠B′PD，
又由∠NPC′=∠B′PD，
∴∠MB′A=∠NPC′，
∴△MAB′∽△NC′P．

（2）如图，过N作NR⊥AB与R，
则RN=BC=1，
连BB′，交MN于Q．则由折叠知，
△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，
∴△MQB∽△B′AB，
∴==．
设AB′=x，则BB′2=1+x2，BQ=，代入上式得：
BM=B'M=．
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
∵AB=BC，BC=RN，
∴AB=RN，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB，
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=-x=（x-1）2．
∴S梯形MNC′B′=[（x-1）2+（x2+1）]×1=（x2-x+1）=（x-）2+，
得当x=时，即B落在AD的中点处时，梯形面积最小，其最小值．
此时，C′N=，BM=，AM=，
由（1）得===；
故S△NPC′=×S△AMB′=×）=，
所以两纸片重叠部分的面积为：
S梯形MB'C'N-S△NPC′==．