Question

直线y=-2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数的图象交于点A、B．过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连接EF，下列结论：①AD=BC；②EF∥AB；③四边形AEFC是平行四边形；④S_△AOD=S_△BOC．其中正确的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①先把反比例函数、一次函数解析式联合组成方程组，解可求A、B坐标，根据y=-2x+5可求C、D的坐标，而AE⊥y轴，BF⊥x轴，结合A、B、C、D的坐标，可知AE=1，DE=OD-OE=5-3=2，在Rt△ADE中利用勾股定理可求AD=，同理可求BC=，于是AD=BC，①正确；
②根据A、B、C、D的坐标，易求OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，即OF：OE=OC：OD，斜率相等的两直线平行，那么EF∥AB，故②正确；
③由于AE=CF=1，且AE∥CF，根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，可知四边形AEFC是平行四边形，故③正确；
④根据面积公式可分别求S△AOD，S△BOC，可知两个面积相等，故④正确．
【解析】
如右图所示，
①∵y=-2x+5与相交，
∴，
解得或，
∴A点坐标是（1，3），B点坐标是（，2），
∵直线y=-2x+5与x轴和y轴的交点分别是（，0）、（0，5），
∴C点坐标是（，0），D点坐标是（0，5），
∵AE⊥y轴，BF⊥x轴，
∴AE=1，DE=OD-OE=5-3=2，
在Rt△ADE中，AD==，
同理可求BC=，
故AD=BC，
故①选项正确；
②∵OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，
∴EF∥AB，
故②选项正确；
③∵AE=CF=1，且AE∥CF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
故③选项正确；
④∵S△AOD=•OD•AE=×5×1=2.5，
S△BOC=•OC•BF=××2=2.5，
∴S△AOD=S△BOC，
故④选项正确．
故选D．