Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点．
（1）求出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）观察图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若点Q在第一象限中的双曲线上运动，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

Answer

（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；
（2）根据正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，得出交点两侧两函数大小正好不同，结合图象得出即可．
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQOQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
【解析】
（1）设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），
将点M（-2，-1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x，
设反比例函数解析式为y=（k1≠0），
将点M（-2，-1）坐标代入得k1=2
所以反比例函数解析式为；

（2）根据正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，结合图象得出：
当-2＜x＜0或x＞2时，正比例函数值大于反比例函数值．

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，
而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），
由勾股定理可得OQ2=n2+=n2+-4+4=（n-）2+4，
所以当（n-）2=0即n-=0时，OQ2有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．