Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S_{四边形AEPF}=S_△ABC；（4）EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（ ）

A．1个
B．3个
C．
D．

Answer

根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到选项A，B，C都是正确的，选项D不正确．从而求出正确的结论的概率．
【解析】
∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．
（1）在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP．正确；
（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正确；
（3）∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．正确；
（4）不能得出EF=AP，错误．
故正确的结论的概率是．
故选D．