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已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线manfen5.com 满分网与x轴、y轴的交点分别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点,直接写出|QA-QO|的取值范围.

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(1)点A的坐标是纵坐标为0,得横坐标为8,所以点A的坐标为(8,0); 点B的坐标是横坐标为0,解得纵坐标为6,所以点B的坐标为(0,6); 由题意得:BC是∠ABO的角平分线,所以OC=CH,BH=OB=6 ∵AB=10,∴AH=4, 设OC=x,则AC=8-x 由勾股定理得:x=3 ∴点C的坐标为(3,0) 将此三点代入二次函数一般式,列的方程组即可求得; (2)求得直线BC的解析式,根据平行四边形的性质,对角相等,对边平行且相等,借助于三角函数即可求得; (3)如图,由对称性可知QO=QH,|QA-QO|=|QA-QH|. 当点Q与点B重合时,Q、H、A三点共线, |QA-QO|取得最大值4(即为AH的长); 设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K, 当点Q与点K重合时,|QA-QO|取得最小值0. 【解析】 (1)点C的坐标为(3,0).(1分) ∵点A、B的坐标分别为A(8,0),B(0,6), ∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-8). 将x=0,y=6代入抛物线的解析式, 得.(2分) ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为.(3分) (2)可得抛物线的对称轴为直线,顶点D的坐标为, 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G. 直线BC的解析式为y=-2x+6.4分) 设点P的坐标为(x,-2x+6). 解法一:如图,作OP∥AD交直线BC于点P, 连接AP,作PM⊥x轴于点M. ∵OP∥AD, ∴∠POM=∠GAD,tan∠POM=tan∠GAD. ∴, 即. 解得. 经检验是原方程的解. 此时点P的坐标为.(5分) 但此时,OM<GA. ∵, ∴OP<AD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等, ∴直线BC上不存在符合条件的点P(6分) 解法二:如图,取OA的中点E, 作点D关于点E的对称点P,作PN⊥x轴于 点N.则∠PEO=∠DEA,PE=DE. 可得△PEN≌△DEG. 由,可得E点的坐标为(4,0). NE=EG=,ON=OE-NE=,NP=DG=. ∴点P的坐标为.(5分) ∵x=时,, ∴点P不在直线BC上. ∴直线BC上不存在符合条件的点P.(6分) (3)|QA-QO|的取值范围是.(8分) 当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时,(如点K处),此时OK=AK,则|QA-QO|=0, 当Q在AH的延长线与直线BC交点时,此时|QA-QO|最大, 直线AH的解析式为:y=-x+6,直线BC的解析式为:y=-2x+6, 联立可得:交点为(0,6), ∴OQ=6,AQ=10, ∴|QA-QO|=4, ∴|QA-QO|的取值范围是:0≤|QA-QO|≤4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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