Question

已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

Answer

（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；
求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；
解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；
（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°．
【解析】
（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE=45°，PA=，
∴AE=PE=×=1，
∵PB=4，∴BE=PB-PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB==．
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．
∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°
∴PP′=PA=2，
∴PD=P′B===；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的
延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG===，EG=，PG=PE-EG=．
在Rt△PFG中，
可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=，FG=．
在Rt△PDF中，可得，
PD===．

（2）如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=PA=2，PB=4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB=180°-∠APP'=135度．