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已知:,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧....

已知:manfen5.com 满分网,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

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(1)作辅助线,过点A作AE⊥PB于点E,在Rt△PAE中,已知∠APE,AP的值,根据三角函数可将AE,PE的值求出,由PB的值,可求BE的值,在Rt△ABE中,根据勾股定理可将AB的值求出; 求PD的值有两种解法,解法一:可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB,可得△PAD≌△P'AB,求PD长即为求P′B的长,在Rt△AP′P中,可将PP′的值求出,在Rt△PP′B中,根据勾股定理可将P′B的值求出; 解法二:过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,交PB于G,在Rt△AEG中,可求出AG,EG的长,进而可知PG的值,在Rt△PFG中,可求出PF,在Rt△PDF中,根据勾股定理可将PD的值求出; (2)将△PAD绕点A顺时针旋转90°,得到△P'AB,PD的最大值即为P'B的最大值,故当P'、P、B三点共线时,P'B取得最大值,根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值,此时∠APB=180°-∠APP'=135°. 【解析】 (1)①如图,作AE⊥PB于点E, ∵△APE中,∠APE=45°,PA=, ∴AE=PE=×=1, ∵PB=4,∴BE=PB-PE=3, 在Rt△ABE中,∠AEB=90°, ∴AB==. ②解法一:如图,因为四边形ABCD为正方形,可将 △PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB, 可得△PAD≌△P'AB,PD=P'B,PA=P'A. ∴∠PAP'=90°,∠APP'=45°,∠P'PB=90° ∴PP′=PA=2, ∴PD=P′B===; 解法二:如图,过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,与DA的 延长线交PB于G. 在Rt△AEG中, 可得AG===,EG=,PG=PE-EG=. 在Rt△PFG中, 可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=,FG=. 在Rt△PDF中,可得, PD===. (2)如图所示, 将△PAD绕点A顺时针旋转90° 得到△P'AB,PD的最大值即为P'B的最大值, ∵△P'PB中,P'B<PP'+PB,PP′=PA=2,PB=4, 且P、D两点落在直线AB的两侧, ∴当P'、P、B三点共线时,P'B取得最大值(如图) 此时P'B=PP'+PB=6,即P'B的最大值为6. 此时∠APB=180°-∠APP'=135度.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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