Question

数学实验室：小明取出一张矩形纸片ABCD，AD=BC=5，AB=CD=25．他先在矩形ABCD的边AB上取一点M，接着在CD上取一点N，然后将纸片沿MN折叠，使MB′与DN交于点K，得到△MNK（如图①）．
（1）试判断△MNK的形状，并说明理由．
（2）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．

Answer

（1）首先根据矩形的性质可得AM∥DN，再根据平行线的性质可得∠KNM=∠1，由折叠可得∠KMN=∠1，进而得到∠KNM=∠KMN，根据等角对等边可得KN=KM，得到△MNK是等腰三角形；
（2）此题要分两种情况进行讨论：①将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合；②将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．分别进行计算即可．
【解析】
（1）△MNK是等腰三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∴KN=KM，
∴△MNK是等腰三角形．

（2）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．
设MK=MD=x，则AM=25-x，
在Rt△DAM中，由勾股定理，得x2=（25-x）2+52，
解得，x=13．
即MD=ND=13，
故S△MNK=S梯形AMND-S△ADM=25×-12×5×=32.5． 

情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK=CK=x，则DK=25-x，
同理可得x2=（25-x）2+52，
解得：x=13，
即MK=NK=13．
故S△MNK=S△DAC-S△DAK=25×5-12×5=32.5．