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如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ...

如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ.
(1)求证:△BDQ≌△ADP;
(2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ的值(结果保留根号).

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(1)由四边形ABCD是菱形,可证得AD=AB,∠ABD=∠CBD=∠ABC,AD∥BC,又由∠A=60°,易得△ABD是等边三角形,然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP; (2)首先过点Q作QE⊥AB,交AB的延长线于E,然后由三角函数的性质,即可求得PE与QE的长,又由勾股定理,即可求得PQ的长,则可求得cos∠BPQ的值. (1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=AB,∠ABD=∠CBD=∠ABC,AD∥BC, ∵∠A=60°, ∴△ABD是等边三角形,∠ABC=120°, ∴AD=BD,∠CBD=∠A=60°, ∵AP=BQ, ∴△BDQ≌△ADP(SAS); (2)【解析】 过点Q作QE⊥AB,交AB的延长线于E, ∵BQ=AP=2, ∵AD∥BC, ∴∠QBE=60°, ∴QE=QB•sin60°=2×=,BE=QB•cos60°=2×=1, ∵AB=AD=3, ∴PB=AB-AP=3-2=1, ∴PE=PB+BE=2, ∴在Rt△PQE中,PQ==, ∴cos∠BPQ===.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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