Question

如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．
（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BCEF能形成哪些特殊四边形；
（3）如图2，将△ABC中AB=BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．

Answer

（1）根据已知条件得出BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°，再根据△ABD旋转得到△EFD，得出∠EDB=∠FDC，从而证出△BED≌△CFD，得出BE=CF，∠DEB=∠DFC，再根据∠DNE=∠FNB，得出∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB，最后证出∠FMN=∠NDE=90°，得出FC⊥BE．
（2）根据已知条件得出四边形BEFC是等腰梯形和正方形．
（3）根据△ABC中AB=BC改成AB≠BC，得出α=90°时（1）两个结论同时成立．
【解析】
（1）FC=BE，FC⊥BE．
证明：∵∠ABC=90°，BD为斜边AC的中线，AB=BC，
∴BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°．
∵△ABD旋转得到△EFD，
∴∠EDB=∠FDC．
DF=BD，ED=AD=CD．
∴△BED≌△CFD．
∴BE=CF．
∴∠DEB=∠DFC．
∵∠DNE=∠FNB，
∴∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB．
∴∠FGN=∠NDE=90°．
∴FC⊥BE．

（2）等腰梯形和正方形．

如图过F作FM∥BE交CE的延长线于M，则得出平行四边形BFME，推出BF∥CM，即可得出等腰梯形BCEF；
当F与A重合时，所得的四边形是正方形，如图：

（3）

当α=90°（1）中的两个结论同时成立，
∵∠BDF=∠EDC=90°，
∴∠FDC=∠BDE，
在△BDE和△FDC中，
，
∴△BDE≌△FDC，
∴BE=CF，
∠DFC=∠DBE，
∵∠DNF=∠BNM，
∴∠BMN=∠FDN=90°，
∴BE⊥CF．