Question

已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若DE的长为2，cosB=，求⊙O的半径．

Answer

（1）DE是⊙O的切线．连接OD．欲证DE是⊙O的切线，只需证明DE⊥OD即可；
（2）根据等腰三角形的“两个底角相等”的性质推知∠B=∠A，即cosB=cosA=．然后在直角三角形BCD和直角三角形ADE中利用余弦三角函数的定义、勾股定理来求直径BC的长度即可．
【解析】
（1）DE是⊙O的切线．理由如下：
连接OD、CD．
∵BC是直径，
∴∠CDB=90°（直径所对的圆周角是直角）．
又∵BC=AC，
∴点D是AB的中点．
∵点O是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵BC=AC（已知），
∴∠B=∠A（等边对等角），
∴cosB=cosA=．
∵cosA==，DE=2，
∴AD=3（勾股定理），
∴BD=AD=3[由（1）知，点D是线段AB的中点]．
∵cosB==，∴BC=9，
∴⊙O的半径为．