Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴相切于D点，与y轴相交于A（0，2）、B（0，8）两点，圆心C在第一象限．
（1）求直径BC所在直线的解析式；
（2）连接BC并延长交⊙C于点E，若线段BE上有一点P，使得AB²=BP∙BE，能否推出AP⊥BE？请你给出你的判断，并说明理由；
（3）在⊙C上是否存在点Q，使得△PEQ为等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题意，根据圆心的性质，可得C的AB的中垂线上，易得C的纵坐标为5；进而可得圆的半径为5；利用勾股定理可得其横坐标为4；即可得C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，将B与C的坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程的解得到k与b的值，即可确定出直线BC的解析式；
（2）能得到AP⊥BE，理由为：连接AE，由BE为圆C的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠BAE为直角，将AB2=BP∙BE化为比例式，再加上一对公共角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，得到三角形ABP与三角形EBA相似，由相似三角形的对应角相等，得到∠BPA与∠BAE相等，都为直角，即可得到AP⊥BE；
（3）在圆C上不存在点Q，使得△PEQ为等边三角形，理由为：假设在圆C上存在点Q，使得△PEQ为等边三角形，作出线段PE的垂直平分线，垂足为M，交圆O于点Q，连接CQ，由AB2=BP∙BE，将AB与BE的长代入求出BP的长，由BE-BP求出PE的长，进而确定出ME的长，由CE-ME求出CM的长，在直角三角形CQM中，利用勾股定理求出QM的长，同时在等边三角形QCE中，由QM垂直于PE，得到M为PE的中点，得到PM的长，在直角三角形QPM中，利用勾股定理求出QM的长，两次求出MQ的长不相等，故假设错误，则在圆C上不存在点Q，使得△PEQ为等边三角形．
【解析】
（1）连接CD，过C作CN⊥y轴，交y轴于点N，
由A（0，2），B（0，8），得到N（0，5），即ON=CD=5；AN=BN=3，
∴圆C的半径BC=5，即C的纵坐标为5，
在Rt△BCN中，根据勾股定理得：CN==4，
∴C（4，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B与C的坐标代入得：，
解得：，
则直线BC的解析式为y=-x+8；

（2）若线段BE上有一点P，使得AB2=BP•BE，能推出AP⊥BE，理由为：
连接AE，
∵BE为圆C的直径，
∴∠BAE=90°，
∵AB2=BP•BE，即=，且∠BAE=∠PBA，
∴△PBA∽△ABE，
∴∠BPA=∠BAE=90°，
∴AP⊥BE；

（3）在圆C上不存在点Q，使得△PEQ为等边三角形，理由为：
假设在圆C上存在点Q，使得△PEQ为等边三角形，
作出线段PE的垂直平分线，垂足为M，交圆O于点Q，连接CQ，
可得PM=ME，QM⊥PE，
∵AB2=BP•BE，AB=6，BE=10，
∴BP=3.6，
∴PE=BE-BP=10-3.6=6.4，
∴PM=EM=3.2，
∴CM=CE-ME=5-3.2=1.8，
在Rt△CMQ中，根据勾股定理得：QM==≈4.66，
而在Rt△PQM中，根据勾股定理得：QM==≈5.54，
矛盾，故假设错误，
则在圆C上不存在点Q，使得△PEQ为等边三角形．