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如图,在直角坐标系中,O为原点.点A在x轴的正半轴上,点B在y轴的正半轴上,ta...

如图,在直角坐标系中,O为原点.点A在x轴的正半轴上,点B在y轴的正半轴上,tan∠OAB=2.二次函数y=x2+mx+2的图象经过点A,B,顶点为D.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置.将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C.请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式;
(3)设(2)中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1,顶点为D1.点P在平移后的二次函数manfen5.com 满分网图象上,且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍,求点P的坐标.
(1)二次函数y=x2+mx+2的图象经过点B,可得B点坐标为(0,2),再根据tan∠OAB=2求出A点坐标,将A代入解析式即可求得函数解析式; (2)根据旋转不变性可轻松求得C点坐标,由于沿y轴运动,故图象开口大小、对称轴均不变,设出解析式,代入C点作标即可求解; (3)由于P点位置不固定,由图可知要分①当点P在对称轴的右侧时,②当点P在对称轴的左侧,同时在y轴的右侧时,③当点P在y轴的左侧时,三种情况讨论. 【解析】 (1)由题意,点B的坐标为(0,2),(1分) ∴OB=2, ∵tan∠OAB=2,即=2. ∴OA=1. ∴点A的坐标为(1,0).(2分) 又∵二次函数y=x2+mx+2的图象过点A, ∴0=12+m+2. 解得m=-3,(1分) ∴所求二次函数的解析式为y=x2-3x+2.(1分) (2)作CE⊥x轴于E, 由于∠BAC=90°,可知∠CAE=∠OBA,△CAE≌△OBA, 可得CE=OA=1,AE=OB=2,可得点C的坐标为(3,1).(2分) 由于沿y轴运动,故图象开口大小、对称轴均不变, 设出解析式为y=x2-3x+c,代入C点作标得1=9-9+c,c=1, 所求二次函数解析式为y=x2-3x+1.(1分) (3)由(2),经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象, 那么对称轴直线x=不变,且BB1=DD1=1.(1分) ∵点P在平移后所得二次函数图象上, 设点P的坐标为(x,x2-3x+1). 在△PBB1和△PDD1中,∵S△PBB1=2S△PDD1, ∴边BB1上的高是边DD1上的高的2倍. ①当点P在对称轴的右侧时,x=2(x-),得x=3, ∴点P的坐标为(3,1); ②当点P在对称轴的左侧,同时在y轴的右侧时,x=2(-x),得x=1, ∴点P的坐标为(1,-1); ③当点P在y轴的左侧时,x<0,又-x=2(-x), 得x=3>0(舍去), ∴所求点P的坐标为(3,1)或(1,-1).(3分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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