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已知抛物线y=kx2-2kx+9-k(k为常数,k≠0),且当x>0时,y>1....

已知抛物线y=kx2-2kx+9-k(k为常数,k≠0),且当x>0时,y>1.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)求k的取值范围;
(3)过动点P(0,n)作直线l⊥y轴,点O为坐标原点.
①当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n关于k的函数关系式;
②当直线l与抛物线相交于A、B两点时,是否存在实数n,使得不论k在其取值范围内取任意值时,△AOB的面积为定值?如果存在,求出n的值;如果不存在,说明理由.
(1)由顶点坐标公式(,)可得答案; (2)依题意可得,解之可得k的取值范围; (3)①当直线l与抛物线只有一个公共点时,有直线过顶点,可得n关于k的函数关系式,进而可作出判断; ②当直线l与抛物线相交于A、B两点时,正方程式可得其对于任意的k值,方程式恒成立,故抛物线的图象过定点,因此△AOB的面积为定值. 【解析】 (1)∵,,(2分) ∴抛物线的顶点坐标为(1,-2k+9).(3分) (2)依题意可得,(5分) 解得0<k<4.即k的取值范围是0<k<4.(6分) (3)①当直线l与抛物线只有一个公共点时,即直线l过抛物线的顶点, 由(1)得n关于k的函数关系式为n=-2k+9(0<k<4).(7分) ②结论:存在实数n,使得△AOB的面积为定值.(8分) 理由:n=kx2-2kx+9-k,整理,得(x2-2x-1)k+(9-n)=0. ∵对于任意的k值,上式恒成立, ∴, 解得,(9分) ∴当n=9时,对k在其取值范围内的任意值,抛物线的图象都通过点和点, 即△AOB的底,高为9, 因此△AOB的面积为定值.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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