Question

（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．

Answer

（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．
（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．
【解析】
（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE=∠GAE．（1分）
同理，∠GAF=∠DAF．
∴．（2分）

（2）MN2=ND2+DH2．（3分）
∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN．
又∵AM=AH，AN=AN，
∴△AMN≌△AHN．
∴MN=HN．（5分）
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
∴NH2=ND2+DH2．
∴MN2=ND2+DH2．（6分）

（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．
设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．
在Rt△CEF中，
∵CE2+CF2=EF2，
∴（x-4）2+（x-6）2=102．
解这个方程，得x1=12，x2=-2（舍去负根）．
即AG=12．（8分）
在Rt△ABD中，
∴．
在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，
∴MN2=ND2+BM2．（9分）
设MN=a，则．
即a 2=（9-a） 2+（3） 2，
∴．即．（10分）