Question

如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为4个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以2个单位/秒的速度向终点B点运动，点Q从B点出发以1个单位/秒的速度向终点O点运动，两个点同时出发，运动时间为t（秒）．
（1）请用t表示点P的坐标______

Answer

（1）当P在OA上，即0≤t≤2；当P在AB上，即2＜t≤4，分别过P作x轴的垂线，利用含30°的直角三角形三边的关系即可得到P点坐标；
（2）当PQ⊥AB，即∠OQP=30°，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OQ=2OP，即4-t=2•2t；当PQ⊥AB，同理得到BQ=2PB，即t=2（8-2t）；当PQ⊥OB，由（1）得P点和Q点的横坐标总是相等的，得到OQ=BQ，即4-t=t；分别解出t的值即可；
（3）分类讨论：当0≤t≤2时，S=•（4-t）•t=-t2+2t；当2＜t≤4时，S=•（4-t）•（4-t）=（t-4）2，然后根据二次函数的最值问题即可得到S的最大值；
（4）讨论：①当P在OA、Q在OB上，即0≤t≤2时，若S△OPQ=S△AOB；若S△OPQ=S△AOB，分别建立方程，解方程求出t的值，确定P与Q的坐标，然后利用待定系数法求直线PQ的解析式；②同样的方法去求当P在AB、Q在OB上，即2＜t≤4时，P与Q的坐标．
【解析】
（1）如图1，当P在OA上，即0≤t≤2时，过点P作PD⊥x轴，
∵OP=2t，△AOB是等边三角形，
∴OD=OP•cos∠AOB=2t•=t，PD=OP•sin60°=2t•=t，
∴P（t，t）；
当P在AB上，即2＜t≤4时，过点P作PE⊥x轴，
∵OA+AB=8，
∴BP=8-2t，
∴BE==4-t，PE=4-t，
∴P（t，4-t）；
∵OB=4，
∴OE=4-t，
∴Q（4-t，0），
故答案为：（t，t）或（t，4-t），（4-t，0），0≤t≤2或2＜t≤4；

（2）如图2，当PQ⊥AO时，
∵∠AOB=60°，
∴∠OQP=30°，
∵OP=2t，OQ=4-t，
∴OQ=2OP，即4-t=2•2t，解得t=；
如图3，当PQ⊥AB，
∵∠ABO=60°，
∴∠PQB=30°，
∵BP=8-2t，BQ=t，
∴BQ=2PB，即t=2（8-2t），解得t=；
如图4，当PQ⊥OB，
由（1）得P点和Q点的横坐标总是相等的，
∴OQ=BQ，即4-t=t，解得t=2；
故答案为：；；2；

（3）①∵当0≤t≤2时，S=•（4-t）•t=-t2+2t，
∴当t=-=2时，S有最大值，其最大值==2；
②当2＜t≤4时，S=•（4-t）•（4-t）=（t-4）2，
∴在2＜t≤4范围内，S随t的增大而减小，并且当t=2时，S的最大值为2，
∴2＜t≤4时，S＜2；
综上所述，当t=2时，S有最大值2；

（4）如图4，∵AQ=OAsin60°=4×=2，
∴S△AOB=OB•AQ=×4×2=4，
①当P在OA、Q在OB上，即0≤t≤2时，
∵S△OPQ=S△AOB，
∴-t2+2=，
解得t=1或3（舍去），
此时P点坐标为（1，）、Q点坐标为（3，0），
设直线PQ的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，
y=-x+；
若S△OPQ=S△AOB，所列方程无解；
②当P在AB、Q在OB上，即2＜t≤4时，S△PQB=-t2+2t，
当S△PQB=S△AOB时，即=-t2+2t=×4，
解得t=3，
此时P为（3，）、Q为（1，0），
设过点PQ的直线解析式为y=kx+b，即
，
解得
故直线PQ的解析式为：y=x-；
当S△PQB=S△AOB时，即-t2+2t=×4时，此方程无解．