Question

如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0＜m＜3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，OC=，分为三种情况：①当OC=PC时，，求出方程的解即可得到P的坐标；同理可求：②当OC=OP时，③当PC=OP时，点P的坐标．综合上述即可得到答案．
【解析】
（1）设y=ax（x-4），
把A点坐标（3，3）代入得：
a=-1，
函数的解析式为y=-x2+4x，
答：二次函数的解析式是y=-x2+4x．

（2）【解析】
0＜m＜3，PC=PD-CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，-m2+4m），C（m，m）
∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m，
=-+，
∵-1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（，0）时，PCmax=，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．

（3）当0＜m＜3时，仅有OC=PC，
∴，
解得，
∴；
当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，
OC=，
由勾股定理得：OP2=OD2+DP2=m2+m2（m-4）2，
①当OC=PC时，，
解得：或m=0（舍去），
∴；
②当OC=OP时，，
解得：m1=5，m2=3，
∵m=3时，P和A重合，即P和C重合，不能组成三角形POC，
∴m=3舍去，
∴P（5，-5）；
③当PC=OP时，m2（m-3）2=m2+m2（m-4）2，
解得：m=4，
∴P（4，0），
答：存在，P的坐标是（3-，1+2）或（3+，1-2）或（5，-5）或（4，0）．