Question

平面直角坐标系中，已知A（-1，4），B（4，9），点P（n，0）为x轴上一点，若∠APB=45°，则n=    ．

Answer

作BC⊥x轴，且BC=10，连接AC，作△ABC的外接圆Q，连接AQ，交x轴于P1、P2，求出AQ∥x轴和Q的坐标，求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠BAC=90°，BC为直径，根据等腰直角三角形性质求出∠C=45°，根据圆周角定理求出P1和P2都符合已知条件，连接QP1，QP2，在Rt△OP1D中，由勾股定理求出DP1=3，同理求出DP2=3，求出OP1和OP2即可．
【解析】
作BC⊥x轴，且BC=10，连接AC，作△ABC的外接圆Q，连接AQ，交x轴于P1、P2，
∵B（4，9），A（-1，4），BC=10，
则Q的坐标是（4，4），
即AQ∥x轴，
即∠AQC=90°，
在Rt△AQC中，AQ=5，CQ=5，由勾股定理：AC=5，
∵AB2+AC2=（5）2+（5）2=100，BC2=100，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴BC是⊙Q的直径，∠C=∠ABC=45°，
由圆周角定理得：∠AP1B=∠ACB=45°，∠AP2B=∠ACB=45°，
即此时P1和P2都符合已知条件，
连接QP1，QP2，
在Rt△OP1D中，OD=9-5=4，OP1=5，由勾股定理得：DP1=3，
同理DP2=3，
即OP1=4-3=1，OP2=4+3=7，
∴n=1或7．
故答案为：1或7．