Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+9交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为一边在其右侧作矩形ABCD，AB=2BC．
（1）求点D的坐标；
（2）作∠AOB的平分线交CD边于E，点P从点O出发，以3个单位每秒的速度向终点E运动，过点P作x轴的平行线，交边AB于点M，交矩形另一边于点N，连接EM、EN，点P运动时间为t秒，△EMN的面积为S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CM、CN，当t为何值时，CM=CN．

Answer

（1）如图1，过点D作DK⊥x轴于K，构建相似三角形：△AOB∽△ADK；利用相似三角形对应边成比例的性质求得相似比是，然后由图形与坐标的性质来求点D的坐标；
（2）需要分类讨论：①如图2：M在AB上，N在AD上；②如图3：M在AB上，N在CD上；
（3）需要分类讨论：①如图4：M在AB上，N在AD上；②如图5：M在AB上，N在CD上．
【解析】
（1）如图1，过点D作DK⊥x轴于K，易证△AOB∽△ADK，
∴==．
∵AB=2BC，BC=AD
∴=
OA=2DK，OB=2AK
∵直线y=-3x+9交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（3，0），B（0，9），OA=3，OB=9．
∴DK=，AK=，∴OK=，∴D（，）；

（2）∵AB∥DC，直线AB的解析式为y=-3x+9
∴设直线CD的解析式为：y=-3x+b，
∵直线CD经过点D（，），
∴=-3×+b，
∴b=24，
∴直线CD的解析式为：y=-3x+24．
∵OE与直线CD交于点E；
∴E（6，6）．
①如图2：过点E作EQ⊥MN于点Q．M在AB上，N在AD上时，此时0＜t≤，S=MN•EQ=×10t×（6-3t）=-15t2+30t

②如图3：过点E作EQ⊥MN于点Q．M在AB上，N在CD上时，此时＜t＜2，S=MN•EQ=×5×（6-3t）=-t+15

（3）①如图4：M在AB上N在AD上时，在Rt△BCM中，可求：BC=，
BM=3-t，
在Rt△CND中，可求：DC=3，
DN=-3t，
∴根据勾股定理，得
CM2=CN2，即+（3-t）2=（3）2+（-3t）2，
可解t1=0，t2=
∵0＜t≤，∴t=．

②如图5：M在AB上，N在CD上时，
此时CM=CN．
在Rt△BCM中，可求：BC=，
BM=3-t，
可求CT=-3t，TN=MN=，
tan∠TCN=tan∠OBA=，
∴=，
∴t=1．
综上所述：t=或t=1时，CM=CN．