Question

在矩形ABCD中，连接AC，已知AD：AC=4：5，点E在CB的延长线上，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）当点F在DC上时，如图1所示，求证：+CF=AB；
（2）当点F在DC的延长线上时，如图2所示，AF交BC于点K，连接EF交射线AB于点G，将△ACF沿着直线AF翻折，翻折后直线AC交EF于点H，若AG=，GF：AC=4：7，求KH的长．

Answer

（1）利用相似三角形的判定得出△ADF∽△ABE进而得出AD：AB=4：3，即可得出DF=BE进而求出+CF=AB；
（2）首先利用平行线的性质得出==，再证明△PAG∽△PEA，求出AE的长，进而得出△AOK∽△EOH和△AOE∽△KOH，得出∠AEO=∠KHO=45°，
在△AKH中，tan∠KAH=tan∠KEH====，求出KN即可得出HK的长．
【解析】
（1）∵AF⊥AE，
∴∠3+∠1=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠D=∠ABE=90°，
∴△ADF∽△ABE，
∴=，
∵AD：AC=4：5，
∴AD：AB=4：3，
∴DF=BE，
∵AB=CD，DF+FC=CD，
∴+CF=AB；

（2）如图2，分别延长AC、EF交于点P，过点K作KN⊥AH于点N，
∵CF∥AG   
∴=，
∵CF∥AG，
=，
∴==，
由题知∠AEB+∠EAB=90°，∠KAB+∠EAB=90°
∴∠AEB=∠KAB
可得∠ACB=∠AFE，又∵∠AKC=∠EKF，
且∠CAK=180°-∠ACB-∠AKC，∠FEK=180°-∠AFE-∠EKF，
∴∠CAK=∠FEK
∴∠CAK+∠KAB=∠FEK+∠AEB，即∠PAG=∠PEA
又∵∠P=∠P
∴△PAG∽△PEA  
∴=，
又∵=，
=，
∵AG=，
∴AE=6，
在△AEG中，AE=6，AG=，tan∠AEG=，可以得到∠EAB=45°，
∴AB=BE=6，BG=，
由题意可知∠KAC=∠KAH，∴∠KAO=∠HEO
∵∠AOK=∠EOH
∴△AOK∽△EOH，∴∠EHO=∠AKO，且=，=，
又∠AOE=∠KOH，
∴△AOE∽△KOH，
∠AEO=∠KHO=45°，
在△AKH中，
tan∠KAH=tan∠KEH====，
∵AK=6，
∴设AN=7x，则KN=x，
则AK2=AN2+KN2，
即（6）2=（7x）2+x2，
解得：x=，
∵∠KHO=45°，∠KNH=90°，
则HK==．