Question

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴，y轴交于点M，N，与反比例函数y=的图象交于点A，B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E，过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于K，连接CD．
（1）若点A，B在反比例函数y=的图象的同一分支上，如图1，试证明：AN=BM．
（2）若点A，B分别在反比例函数y=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．

Answer

（1）本题需先连接AD，BC，得出S△ADC=S△BDC再证出ANDC是平行四边形，得出AN=CD和DC=BM，从而得出AN=BM．
（2）本题需先根据（1）的理由即可得出AN与BM相等即可．
【解析】
（1）连接AD，BC，过D作DP⊥AB，过C作CQ⊥AB，
S△ADC=AC．DK=x1．y1=k，
S△BDC=BD．CK=x2y2=k，
∴S△ADC=S△BDC，即S△ADK=S△BCK，
∴S△ADB=S△ACB，
∴DP=CQ，又DP∥CQ，又∠DPQ=90°，
∴四边形PQCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵AC∥ND，
∴ANDC是平行四边形，
∴AN=CD，
同理：DC=BM，
∴AN=BM．

（2）相等．
AN与BM仍然相等．
∵S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC，S矩形BKCF=S矩形BDOF+S矩形ODKC，
又∵S矩形AEOC=S矩形BDOF=k，
∴S矩形AEDK=S矩形BKCF，
∴AK•DK=BK•CK．
∴CK：AK=DK：BK．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．