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已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=manfen5.com 满分网
(1)求证:AM•MB=EM•MC;
(2)求EM的长;
(3)求sin∠EOB的值.

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(1)连接A、C,E、B点,那么只需要求出△AMC和△EMB相似,即可求出结论,根据圆周角定理可推出它们的对应角相等,即可得△AMC∽△EMB; (2)根据圆周角定理,结合勾股定理,可以推出EC的长度,根据已知条件推出AM、BM的长度,然后结合(1)的结论,很容易就可求出EM的长度; (3)过点E作EF⊥AB,垂足为点F,通过作辅助线,解直角三角形,结合已知条件和(1)(2)所求的值,可推出Rt△EOF各边的长度,根据锐角三角函数的定义,便可求得sin∠EOB的值. (1)证明:连接AC、EB, ∵∠A=∠BEC,∠B=∠ACM, ∴△AMC∽△EMB, ∴, ∴AM•BM=EM•CM; (2)【解析】 ∵DC是⊙O的直径, ∴∠DEC=90°, ∴DE2+EC2=DC2, ∵DE=,CD=8,且EC为正数, ∴EC=7, ∵M为OB的中点, ∴BM=2,AM=6, ∵AM•BM=EM•CM=EM(EC-EM)=EM(7-EM)=12,且EM>MC, ∴EM=4; (3)【解析】 过点E作EF⊥AB,垂足为点F, ∵OE=4,EM=4, ∴OE=EM, ∴OF=FM=1, ∴EF=, ∴sin∠EOB=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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