Question

如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE交AD于点F．
（1）求证：∠BEC=∠DEC；
（2）当CE=CD时，求证：DF²=EF•BF．

Answer

（1）利用正方形的性质，根据SAS即可证得：△BEC≌△DEC，从而求证；
（2）首先证明△FDE∽△FBD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得，即DF2=EF•BF．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，且∠BCE=∠DCE，
又∵CE是公共边，
∴△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC．

（2）连接BD．
∵CE=CD，∴∠DEC=∠EDC．
∵∠BEC=∠DEC，∠BEC=∠AEF，
∴∠EDC=∠AEF．
∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD，
∴∠FED=∠ECD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECD=∠BCD=45°，∠ADB=∠ADC=45°，
∴∠ECD=∠ADB．
∴∠FED=∠ADB．
又∵∠BFD是公共角，
∴△FDE∽△FBD，
∴，即DF2=EF•BF．