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已知一次函数y=x+1的图象和二次函数y=x2+bx+c的图象都经过A、B两点,...

已知一次函数y=x+1的图象和二次函数y=x2+bx+c的图象都经过A、B两点,且点A在y轴上,B点的纵坐标为5.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)将此二次函数图象的顶点记作点P,求△ABP的面积;
(3)已知点C、D在射线AB上,且D点的横坐标比C点的横坐标大2,点E、F在这个二次函数图象上,且CE、DF与y轴平行,当CF∥ED时,求C点坐标.

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(1)利用一次函数结合A、B两点的特点,求出A、B两点的坐标,然后将A、B的坐标代入y=x2+bx+c,即可组成方程组求出b、c的值,从而得到二次函数的解析式; (2)画出二次函数图象,画出一次函数AB的图象,将△APB转化为△APG和△PGB两个三角形的面积的和来解答; (3)设C点横坐标为a,据题意此推知C点坐标为(a,a+1),D点坐标为(a+2,a+3),E点坐标为(a,a2-3a+1),F点坐标为(a+2,a2+a-1),得到 CE=-a2+4a,DF=a2-4,根据CE∥DF,CF∥ED,得出四边形CEDF是平行四边形,根据平行四边形的性质,求出-a2+4a=a2-4,或-a2+4a=-a2+4求出a的值,从而得到C点坐标. 【解析】 (1)如图1,A点坐标为(0,1), 将y=5代入y=x+1,得x=4, ∴B点坐标为(4,5), 将A、B两点坐标代入y=x2+bx+c, 解得, ∴二次函数解析式为y=x2-3x+1. (2)y=x2-3x+()2-()2+1=(x-)2-, P点坐标为(,), 抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G,则点G(,), ∴PG=, ∴. (3)如图2,设C点横坐标为a, 则C点坐标为(a,a+1),D点坐标为(a+2,a+3), E点坐标为(a,a2-3a+1),F点坐标为(a+2,a2+a-1), 由题意,得 CE=-a2+4a,DF=a2-4, ∵且CE、DF与y轴平行, ∴CE∥DF, 又∵CF∥ED, ∴四边形CEDF是平行四边形, ∴CE=DF, ∴-a2+4a=a2-4, 解得,, (舍), ∴C点坐标为(,). 当 CE=-a2+4a,DF=-a2+4, ∵且CE、DF与y轴平行, ∴CE∥DF, 又∵CF∥ED, ∴四边形CEDF是平行四边形, ∴CE=DF, ∴-a2+4a=-a2+4, 解得:a=1, 故C点坐标为:(1,2)当C点坐标为(1,2)时CF不∥ED,舍去. 综上所述:C点坐标为(,).
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考点分析:
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化简:manfen5.com 满分网
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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