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如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,O是BC边上的中点,N...

如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,O是BC边上的中点,N是AB边上的点(不与端点重合),M是OB边上的点,且MN∥AO,延长CA与直线MN相交于点D,G点是AB延长线上的点,且BG=AN,连接MG,设AN=x,BM=y.
(1)求y关于x的函数关系式及其定义域;
(2)连接CN,当以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切时,求∠ACN的正切值;
(3)当△ADN与△MBG相似时,求AN的长.
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(1)证△BMN∽△BOA,推出=,由勾股定理求出BC=3,BO=,根据AN=x,BM=y,代入求出即可; (2)求出MG=MN,根据等腰三角形性质求出∠AND=∠G,∠DAN=∠MBG,根据AAS证△AND≌△BGM,推出DN=MG=MN,求出tan∠CAO==,根据平行线性质求出∠CAO=∠ACN,即可求出答案; (3)分为两种情况:①若∠D=∠BMG时,过点G作GE⊥CB,垂足为点E,求出tan∠BMG==,根据∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°,推出BM=BE,根据勾股定理得出y=x,与(1)得出关系式组成方程组,即可求出x;②若∠D=∠G时,过点M作MF⊥AB,垂足为点F,tan∠G=,求出x=y,同样得出方程组,求出x即可. (1)【解析】 ∵MN∥AO, ∴△BMN∽△BOA, ∴=, ∵∠C=90°,AC=BC,AB=6, ∴由勾股定理得:BC=3, ∵O是BC边上的中点, ∴BO=, ∵AN=x,BM=y, ∴=, ∴y=(0<x<6); (2)【解析】 ∵以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切, ∴DN+MG=DM,又DN+MN=DM, ∴MG=MN, ∴∠MNG=∠G, 又∵∠MNG=∠AND, ∴∠AND=∠G, ∵AC=BC, ∴∠CAB=∠CBA, ∴∠DAN=∠MBG, 又∵AN=BG, ∴△AND≌△BGM, ∴DN=MG=MN, ∵∠ACB=90°, ∴CN=DN, ∴∠ACN=∠D, ∵∠ACB=90°,AC=BC,O是BC边上的中点, ∴tan∠CAO==, ∵MN∥AO, ∴∠CAO=∠D, ∴∠CAO=∠ACN, ∴tan∠ACN=; (3)【解析】 ∵∠DAN=∠MBG,当△ADN与△MBG相似时,分为两种情况: ①若∠D=∠BMG时,过点G作GE⊥CB,垂足为点E, tan∠BMG==, ∵∠ACB=90°,GE⊥BC, ∴AC∥GE, ∴∠BGE=∠CAB=45°, ∵∠ABC=∠GBE=45°, ∴∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°, ∴BE=EG, ∴BM=BE, ∴由勾股定理得:y=x, ∵由(1)知:y=, ∴解得:x=2; ②若∠D=∠G时,过点M作MF⊥AB,垂足为点F, ∴tan∠G==, ∴FG=2MF, ∵∠C=90°,AC=BC, ∴∠MBF=∠CAB=45°, ∵∠MFB=90°, ∴∠FMB=∠MBF=45°, ∴BF=MF, ∵FG=2MF=BF+BG, ∴BF=BG, ∴x=y, 由(1)知:y=, ∴解得:x=; 综上所述,当△ADN与△MBG相似时,AN的长为2或.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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