Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，过点E作ED⊥BC于D，F在DE的延长线上，且AF=CE，若AB=6，AC=2，求四边形ACEF的面积．

Answer

过点E作EH⊥AC于H．根据全等三角形的判定定理ASA判定△AEF≌△EAC；然后由全等三角形的对应边相等推知EF=AC；结合已知条件知EF∥AC，所以根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得四边形EFAC是平行四边形；在直角三角形ABC中根据勾股定理求得BC的长度，从而知2EH=BC，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【解析】
过点E作EH⊥AC于H．
∵∠ACB=90°，AE=BE，
∴AE=BE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）．
∵AF=CE（已知），
∴AE=AF（等量代换），
∴∠F=∠FEA（等边对等角）．
∵ED⊥BC（已知），
∴∠BDF=90°，BD=DC．
∴∠BDF=∠ACB=90°．
∴FD∥AC，∴∠FEA=∠EAC．
∴∠F=∠ECA．
∵AE=EA，
∴△AEF≌△EAC，∴EF=AC，
∴四边形FACE是平行四边形；
∵EH⊥AC，∴∠EHA=90°．
∵∠BCA=90°，∠EHA=∠BCA．
∴BC=，EH∥BC．
∴AH=HC．
∴EH=BC=2，
∴S平行四边形ACEF=AC×EH=2×2=4．