Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+2x-3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．一次函数y=-x+m的图象过点C，交y轴于D点．
（1）求点C、点F的坐标；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

Answer

（1）令y=0，解方程即可得到点A、B的坐标，然后根据点的对称性求出点C的坐标，再根据中点定义求出点F的坐标；
（2）把点C的坐标代入一次函数求出m的值，从而得到直线CD的解析式，然后设出点K的坐标，并表示出点H、G的坐标，利用两点间的距离表示出CD，整理后根据二次函数的最值问题求解；
（3）根据直线CD的解析式与抛物线的解析式分别设出点M、N的坐标，然后分①AC是平行四边形的边，根据平行四边形的对边平行且相等分点N在点M的左侧与右侧两种情况分别求出点N是横坐标，然后代入抛物线解析式求出纵坐标，即可得到点N的坐标；②AC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可得M、N关于点B对称，根据对称性求出点N的横坐标，然后代入抛物线解析式求出点N的纵坐标，即可得解．
【解析】
（1）令y=0，则x2+2x-3=0，
解得x1=-3，x2=1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵点C是点A关于点B的对称点，
∴C（5，0），
∵F是线段BC的中点，
∴F（3，0）；

（2）∵一次函数y=-x+m的图象过点C（5，0）
∴-5+m=0，
解得，m=5，
∴CD的解析式是y=-x+5，
设K点的坐标是（t，0），则H点的坐标是（t，-t+5），G点的坐标是（t，t2+2t-3），
∵K是线段AB上一动点，∴-3≤t≤1，
HG=（-t+5）-（t2+2t-3），
=-t2-3t+8，
=-（t+）2+，
∵-3≤-≤1，
∴当t=-时，线段HG的长度有最大值是；

（3）∵A（-3，0），C（5，0），
∴AC=5-（-3）=5+3=8，
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的解析式是x=3，
∵点M在l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标是（3，m），点N的坐标是（n，n2+2n-3）．
①若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边，则须MN∥AC，MN=AC=8，
（i）当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
3-n=8，解得n=-5，
n2+2n-3=（-5）2+2×（-5）-3=25-10-3=12，
所以，N点的坐标是（-5，12）；
（ii）当点N在点M的右侧时，NM=n-3，
n-3=8，解得n=11，
n2+2n-3=112+2×11-3=121+22-3=140，
所以，N点坐标是（11，140）；
②若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线，由题意可知，点M与点N关于点B中心对称，
∵点M的横坐标为3，点B（1，0），
∴点N的横坐标为-1，
n2+2n-3=（-1）2+2×（-1）-3=1-2-3=-4，
所以，N点坐标是（-1，-4），
综上所述，符合条件的N点坐标有（-5，12），（11，140），（-1，-4）．