Question

把一块三角板置于平面直角坐标系中，三角板的直角顶点为P，两直角边与x轴交于A、B，如图1，测得PA=PB，AB=2．以P为顶点的抛物线y=-（x-2）²+k恰好经过A、B两点，抛物线的对称轴x=a与x轴交于点E．

（1）填空：a=______，k=______，点E的坐标为______；
（2）设抛物线与y轴交于点C，过P作直线PM⊥y轴，垂足为M．如图2，把三角板绕着点P旋转一定角度，使其中一条直角边恰好过点C，另一条直角边与抛物线的交点为D，试问：点C、D、E三点是否在同一直线上？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q（m，n）为抛物线上的一动点，连接CF、QC，过Q作QF⊥PM，垂足为F．试探索：是否存在点Q，使得△QCF是以QC为腰的等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用等腰直角三角形的性质得出PE的长以及利用顶点式求出对称轴即可；
（2）首先过D作DG⊥PM于点G，得出△DPG∽△PCM，进而得出，即可求出D点坐标，再求出直线CE的解析式进而得出D点是否在直线上；
（3）由勾股定理可得：QC2=m2+（n+3）2，QF2=（n-1）2，CF2=m2+16，再利用当QC=QF时以及当QC=CF时求出m的值即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=-（x-2）2+k，
∴抛物线的对称轴x=a=2，
∵三角板的直角顶点为P，两直角边与x轴交于A、B，PA=PB，AB=2，
∴PE=AB=1，
∴k=1，
∴E点坐标为：（2，0），
故答案为：2，1，（2，0）；

（2）过D作DG⊥PM于点G，
则有∠DGP=∠PMC=90°
由题意可知，∠CPD=90°，即∠DPG+∠CPM=90°，
∵PM⊥y轴，
∴∠CPM+∠PCM=90°，
∴∠DPG=∠PCM，
∴△DPG∽△PCM，
∴，
（注：本式也可由tan∠DPG=tan∠PCM得到）
设点D坐标为（t，-t2+4t-3），
则PG=t-2，DG=1-（-t2+4t-3）=t2-4t+4，
又∵PM=2，MC=4，
∴，
解得：，t2=2（不合舍去）．
故点D坐标为，
设直线CE的解析式为y=k1x+b（k1≠0），
由题意得，
解得
故直线CE的解析式为，
当时，
则点D在直线CE上，即点C、D、E三点在同一直线上．

（3）存在．
由勾股定理可得：QC2=m2+（n+3）2，QF2=（n-1）2，CF2=m2+16，
当QC=QF时，有QC2=QF2
则m2+（n+3）2=（n-1）2
解得：，
又∵Q（m，n）在抛物线上，
∴n=-m2+4m-3
∴，
解得：，m2=4，
当QC=CF时，有QC2=CF2，
∴m2+（n+3）2=m2+16，
解得n1=-7，n2=1（不合题意舍去）
由-m2+4m-3=-7，
解得：，
综上所述，当，4或时，△QCF是以QC为腰的等腰三角形．