Question

如图，在⊙M中，所对的圆心角为120°，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）点D是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积；
（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接AM，在直角△AMO中，根据三角函数就可以求出OM，就可以得到M的坐标．
（2）根据三角函数就可以求出A，B的坐标，抛物线经过点A、B、C，因而M一定是抛物线的顶点．根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（3）四边形ACBD的面积等于△ABC的面积+△ABP的面积，△ABC的面积一定，△ABP中底边AB一定，P到AB的距离最大是三角形的面积最大，即当P是圆与y轴的交点时面积最大．
（4）△PAB和△ABC相似，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出P点的坐标．
【解析】
（1）如图（1），
连接MA、MB，
则∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．（2分）
∴OM=MB=1，
∴M（0，1）．（3分）

（2）由A，B，C三点的特殊性与对称性，知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c．（4分）
∵OC=MC-MO=1，OB=，
∴C（0，-1），B（，0）．（5分）
∴c=-1，a=．
∴y=x2-1．（6分）

（3）∵S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD，又S△ABC与AB均为定值，（7分）
∴当△ABD边AB上的高最大时，S△ABD最大，此时点D为⊙M与y轴的交点，如图（1）．（8分）
∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=AB•OC+AB•OD
=AB•CD
=4cm2．（9分）

（4）方法1：
如图（2），
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=30°，，
∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°，PB=AB=2，PA=PB=6．（10分）
设P（x，y）且x＞0，则x=PA•cos30°-AO=3-=2，y=PA•sin30°=3．（11分）
又∵P（2，3）的坐标满足y=x2-1，
∴在抛物线y=x2-1上，存在点P（2，3），
使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2，3）或（-2，3）．（12分）
说明：只要求出（2，3），（-2，3），无最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
如图（3），
当△ABC∽△PAB时，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴点P在直线AM上．
设直线AM的解析式为y=kx+b，
将A（-，0），M（0，1）代入，
解得，
∴直线AM的解析式为y=x+1．（10分）
解方程组，
得P（2，3）．（11分）
又∵，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在抛物线y=x2-1上，存在点（2，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2，3）或（-2，3）．（12分）
方法3：
如图（3），
∵△ABC为等腰三角形，且，
设P（x，y），则△ABC∽△PAB等价于PB=AB=2，PA=AB=6．（10分）
当x＞0时，得，
解得P（2，3）．（11分）
又∵P（2，3）的坐标满足y=x2-1，
∴在抛物线y=x2-1上，存在点P（2，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2，3）或（-2，3）．（12分）