Question

如图，⊙O的半径OA=3，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点B，PB=2，PA=4，
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AD⊥OP于点D，求sin∠DAO的值．

Answer

（1）根据题意可得出OP，根据勾股定理的逆定理可得出△OAP是直角三角形，从而得出PA是⊙O的切线；
（2）由（1）得出∠DAO=∠P，再在Rt△OAP中，利用三角函数即可得出sin∠DAO的值．
（1）证明：∵OA=3，∴OB=3，
∵PB=2，∴OP=OB+BP=3+2=5，
在△OAP中，∵OA=3，PA=4，OP=5，
∴OA2+AP2=32+42=25=52=OP2，
∴△OAP是直角三角形，且∠OAP=90°．
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线；

（2）【解析】
由（1）得∠OAP=90°，
∴∠P+∠O=90°，
∵AD⊥OP，∴∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠O=90°，
∴∠DAO=∠P，
在Rt△OAP中，sin∠DAO=∠P==．