Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．
（1）求证：P是△ACQ的外心；
（2）若，求CQ的长；
（3）求证：（FP+PQ）²=FP•FG．

Answer

（1）由于AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧AC=弧AE，而C是弧AD的中点，那么弧CD=弧AE，即∠PAC=∠PCA，根据等角的余角相等，还可得到∠AQC=∠PCQ，由此可证得AP=PC=PQ，即P是△ACQ的外心；
（2）由（1）的相等弧可知：∠ABC=∠ACE=∠CAQ，那么它们的正切值也相等；在Rt△CAF中，根据CF的长及∠ACF的正切值，通过解直角三角形可求得AC的长，进而可在Rt△CAQ中，根据∠CAQ的正切值求出CQ的长；
（3）由（1）知：PQ=CP，则所求的乘积式可化为：CF2=FP•FG；在Rt△ACB中，由射影定理得：CF2=AF•FB，因此只需证明AF•FB=FG•FP即可，将上式化成比例式，证线段所在的三角形相似即可，即证Rt△AFP∽Rt△GFB．
（1）证明：∵C是的中点，∴，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，∴
∴
∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心．

（2）【解析】
∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，
得．
∴由勾股定理，得BC==
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC==，BC=，
∴AC=10，
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC2=CQ•BC，
∴CQ==；

（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴，即AF•BF=FP•FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴CF2=AF•BF（或由射影定理得）
∴FC2=PF•FG，
由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴（FP+PQ）2=FP•FG．