Question

某文化用品商店新进一批毕业纪念册，该纪念册每本进价10元，售价定为每本18元，该商店计划出台一下的促销方案：凡一次购买纪念册6本以上的（不含6本），每多买一本，所购买的每本纪念册的售价就降低0.2元，但是每本纪念册的最低售价不低于13元．
（1）问一次购买该纪念册至少多少本时才能用最低价购买？
（2）求当一次够买该纪念册x本时，商店所获利润W（元）与购买量x（本）之间的函数关系式；
（3）在研讨促销方案过程中，店员发现了一个奇怪的现象：“如果商店一次售出30本纪念册所获得利润，比一次售出26本纪念册所获得利润低．”请你解释其中的道理，并根据其中的道理替该商店修改一下促销方案，使卖得纪念册越多所获利润越大．

Answer

（1）设购买纪念册m本，根据题意得18-0.2（m-6）≥13，解不等式得到m≤31，即可得到一次购买该纪念册至少多少本；
（2）分类：当x≤6时；当6＜x≤31时；当x＞31时，分别用购买量x乘以每本的利润得到商店所获利润W（元）；
（3）利用顶点公式求出当6＜x≤31时，W=-0.2x2+9.2x，当23≤x≤31时，W随x的增大而减小，于是可解释“如果商店一次售出30本纪念册所获得利润，比一次售出26本纪念册所获得利润低．”为了使卖得纪念册越多所获利润越大把每本纪念册的最低售价不低于13元改为18-0.2×（23-6）=14.6（元），这样当6＜x＜23时，W=-0.2x2+9.2x，W随x的增大而增大，其他两个函数也是增函数，可满足使卖得纪念册越多所获利润越大．
【解析】
（1）设购买纪念册m本，
∴18-0.2（m-6）≥13，解得m≤31，
∴至少买31本才能用最低价购买；
（2）①当x≤6时，
W=（18-10）x=8x（x为整数）；
②当6＜x≤31时，
W=x[18-0.2（x-6）-10]
=x（9.2-0.2x）
=-0.2x2+9.2x（ x为整数）；
③当x＞31时，
W=（13-10）x=3x（x为整数）；
（3）由②中W=-0.2x2+9.2x，
∵a=-0.2＜0，x=-=23，
∴当23≤x≤31时，W随x的增大而减小．
∴商店一次售出30本纪念册所获的利润，比一次售出26本纪念册所获的利润低，
又∵当x=23时，纪念册的售价为18-0.2×（23-6）=14.6（元），
∴商店把促销方案中：“纪念册的最低售价不低于13元”改为“纪念册的最低售价不低于14.6元”，这样三个函数在个自变量范围都为增函数，于是可以使卖的纪念册越多商店所获的利润越大．