Question

在等腰△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D为AB的中点，以AC为斜边作直角△APC，连接PD．

（1）当点P在△ABC的内部时（如图1），求证PD+PC=AP；
（2）当点P在△ABC的外部时（如图2），线段PD、PC、AP之间的数量关系是______

Answer

（1）通过连接CD，在AP上取一点E使AE=CP，利用等腰三角形的性质证明三角形全等可以得出∠1=∠3，DE=DP，可以得到△EDP是等腰直角三角形．从而得出结论．
（2）连接CD，延长PA到G，使AG=PC，连接DG，由等腰直角三角形的性质可以得到∠ADC=90°，从而可以得到A、P、C、D
四点在以AC为直径的圆上，由∠1=∠2=45°，∠3=∠4，通过证明△PCD≌△GAD，得出∠1=∠G，PD=GD，从而证明△PGD为等腰直角三角形．从而得出答案．PA+PC=PD
（3）由（2）的结论可以得出AP+PC=7，通过证明△PAD∽△PEC，利用PC：EC=3：5求出AD，从而求出AC，再利用△PEC∽△AED求出PC，就可以求出PA，得出PA=PD得出△PAB是直角三角形，利用勾股定理就可以求出PB．
【解析】
（1）证明：连接CD，在AP上取一点E使AE=CP，
∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD，∠CAD=∠ACD=45°，∠ADC=90°，
∴∠CAP+∠ACD+∠DCP=90°，∠CAP+∠ACD+∠PAD=90°，
∴∠CAP+∠ACD+∠DCP=∠CAP+∠ACD+∠PAD，
∴∠DCP=∠PAD，PC=AE，CD=AD，
∴△CPD≌△AED，
∴DE=DP，∠1=∠3．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴△EDP为等腰直角三角形，由勾股定理，得
PE=PD．
∵AE+EP=AP，
∴PC+PD=AP．

（2）线段PD、PC、AP之间的数量关系是：PA+PC=PD
证明：连接CD，延长PA到G，使AG=PC，连接DG
∵∠APC=∠ADC=90°，
∴A、D、C、P四点在以AC为直径的圆上．
∵AD=CD，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠1=∠2=∠CAD=∠ACD=45°．
∵∠5=∠1+∠4，∠PCD=∠3+∠ACD，∠3=∠4，
∴∠5=∠PCD，PC=AG，AD=CD，
∴△GAD≌△PCD，
∴GD=PD，
∴∠1=∠G=45°，
∴∠PDG=90°，由勾股定理，得
PG=PD
∵PG=PA+AG，
∴PG=PA+PC，
∴PA+PC=PD．

（3）∵PD=
∴PA+PC=7．
∵PC：EC=7：5，则设PC=7m，EC=5m，
∴PA=7-7m．
∵△PAD∽△PEC，
∴，
∴，
解得AD=，在Rt△ADC中，由勾股定理，得
AC=5，
∴在Rt△CAP中，由勾股定理，得
（7m）2+（7-7m）2=25，
解得，m1=，m2=．
∵AP＜PC，
∴m=，
∴PC=4，PA=3．
作PH⊥AD于点H，有△PHD∽△APC
∴，
∴
解得：PH=．
在Rt△PHD中，由勾股定理，得
（）2+HD2=（）2，
解得：HD=，HB=，
在Rt△PHB中由勾股定理，得
PB2=PH2+HB2，
∴，
解得：PB=．